Rechnen mit Potenztürmen (Computing with power towers)

   

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1.      Potenzgesetze

§1: a^b = ab = exp(ln(a)*b) = eln(a)*b = Exp[Log[a] b]
§2: a^b = 10^(log10(a)*b) = 10log10(a)*b = 10^(b*log(a)/log(10)) = 10b*ln(a)/ln(10)
§3: a^b = 10^frac(log10(a)*b)*10^floor(log10(a)*b)
§4:

   a3^a2^a1 = a3^10^(log10(a2)*a1) = 10^(log10(a3)*10^(log10(a2)*a1))
a4^a3^a2^a1 = a4^10^(log10(a3)*10^(log10(a2)*a1)) = 10^[log10(a4)*10^(log10(a3)*10^(log10(a2)*a1))] =
...

Ab 4 Exponenten lässt sich ein Potenzturm auch nicht mehr sinnvoll in die Form a*10^x wandeln.

2.      Neues System für größere Potenztürme

Ab 1984 rechnet man mit dem Symmetric Level-Index System , wo man den Turm in folgende Zwischenform bringt: PrimzahlpolynomWiFo1985S66  
Letzter Exponent wird Normiert: 0 <= f < 1

Fertige Funktionen für Mathematica fintet man unter community.wolfram.com (google Browser optimiert)

Beispiel 1: Vergleich von 3 Potenztürmen

a = 7^9^99999999999999999998^999999999999999999989^9999999999999999999999
b = 111^9999999999999990000^9999999999999999991^999999999999999999994^9999999999999999999998
c = 19111117777^39177777777777777777733333^9999999999999999999999177345977777777^999999999999999999998^9999999999999999999997

Die LevelIndexArithmetic erlaubt nicht nur die Wandlung in 10er Potenztürme, sondern auch Grundrechenarten und Vergleiche, wie dieses Ergebnis zeigt: Mathematica Ergebnisse 
Die 10^(kleiner 1) kann man natürlich noch berechnen und den Turm verkleinern. Diesmal in wolframAlpha.com Ausgabe, jedoch mit mehr als 14 Nachkommastellen:
a = 10^(10^(10^(10^(10^23.32221929473391926800710462641611655819...)))) = 10^10^10^10^209999999999999999999932.5286369863...
b = 10^(10^(10^(10^(10^23.32221929473391926800710605844571328513...)))) = 10^10^10^10^209999999999999999999933.2210846867...
c = 10^(10^(10^(10^(10^23.32221929473391926800709915363372834229...)))) = 10^10^10^10^209999999999999999999929.8823120860...
Man muss also schon mit mehr als 25 Stellen {mehr als 21 Nachkommastellen bei der rot markierten Zahl} genau rechnen, um solche Zahlen vergleichen zu können:
also c < a < b

Weitere Vorteile dieses Systems:
- die Türme können bei der Eingabe unterschiedlich hoch sein -> werden durch die 0...1 Normierung des letzten Exponenten im Ergebnis gut vergleichbar
- durch die 10^ Schreibweise erkennt man auch sofort die Anzahl der Stellen des dezimalen Ergebnisses.


Gerd Lamprecht, 25.07.2020