Volumenberechnung beliebiger Körper mit Integralen ( Gerd Lamprecht)

   

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Das Volumen eines beliebigen Körpers per 3fach Integral entlang der 3 Raumkoordinaten:    


Für Rotationskörper mit kreisförmiger Grundfläche kann man 1/4 der runden Fläche berechnen:   
=(x* sqrt(r²-x²)+r²* asin(x/r))/2|0...r   =asin(1)*r²/2= 1*hyg2F1(1/2,1/2,3/2,1²)*r²/2 = Pi*r²/4

(ganze Fläche mal 4 also A=Pi*r²) Dieser von den 3 Raumvariablen unabhängige Faktor kann vor das Integral gezogen werden.
Durch Kippen des Körpers nach rechts entsteht eine Rotation um die X-Achse: aus x1 wird 0 und x2=h
Volumen: ; Mantelfläche: ; Kurvenlänge:


einfachster Spezialfall Zylinder: f(x)=r



Spezialfall Kegel: Spitze im Nullpunkt h=x2 (nach rechts): f(x)=r*x/h
denn


Spezialfall Kugel: Mitte der Kugel im Koordinatenursprung (Radius r nach rechts) nur rechte Hälfte: f(x)=sqrt(r²-x²)




Spezialfall stumpfe (Hühner-)Eikurve: f(x)=sqrt(aB[2]²-(x*aB[2]/aB[3])²) gezeichnet mit dem Universal Diagramm (Plotter)



V= linke Hälfte (dicker bis aB[1]) + rechte Hälfte (spitzer bis aB[3]) mit der Integralrechnung (zunächst 1 Hälfte ohne Pi):
nicht sondern mit f(x)² und

mit Pi und Integralgrenze 0...c ergibt das rechte Volumen-Integral Pi*2*aB[2]²*aB[3]/3 und analog die dicke linke Hälfte Pi*2*aB[2]²*aB[1]/3
ergibt für beide zusammen die Volumensumme: V = 2*Pi*aB[2]²*aB[1]/3+2*Pi*aB[2]²*aB[3]/3 = 2/3*Pi*aB[2]²*(aB[1]+aB[3])
mit A019693 = 2/3*Pi = 2.094395102393195492308428922186335256131446266250070547316629728205210937524139332418689883561411...
Test: r=aB[1]=aB[2]=aB[3] ergibt 2*Pi*r²*2*r/3 also Kugelvolumen siehe oben!

Spezialfall spitze (Pinguin-)Eikurve: f(x)=sqrt((1-x*x/pow(aB[1],2))*(1-[c=3]*x/(4*aB[1]+4*aB[2]))*pow(aB[2],2)) Universal Diagramm (Plotter)


nicht *
EllipticF *EllipticE2 sondern

beide Eiformen online Nachrechnen per Iterationsrechner (a=aB[1]; b=aB[2]; c=aB[0])

interessant: trotz unterschiedlichem Faktor für die Spitze des Ei (c=aB[4]=0...7) ändert sich das Volumen nicht!

Spezialfall Trichterformen
Der Trichter wird so gekippt, dass die große Öffnung nach rechts zeigt. 6 mögliche Formen:

r (klein links) R (groß rechts) seien die Radien der kreisförmigen Öffnung; h=Höhe des Trichters(im Bild nach rechts bei x=3.5)
1 Paraboloid
2 exponentiel M=
3 hyperbolischer Trichter (k=0.05)M in Arbeit...;
4 = (2+3)/2(2+3)/2in Arbeit...in Arbeit...
5 Kegelstumpf (linear)
6 halber Hyperboloid

Besonderheiten bei Rotation um y-Achse:
Natürlich kann man durch die Inverse Funktion (Umkehrfunktion) alles um 90° kippen,
ABER bei Funktionen wie Gamma(x) gibt es offiziell keine aGamma(x)
und die Integration davon geht nur noch NUMERISCH!

Dann gibt es noch die bei Wikipedia zu findene Substitution für Rotationskörper:
, a=x1>=0, b=x2>x1


Zeichnen (Plotten) der Rotationskörper (3D, Oberflächen, surface plot):
a) Microsoft Mathematics http://www.microsoft.com/de-de/download/details.aspx?id=15702


b) Mathematica: http://www.math.harvard.edu/archive/21a_summer_03/labs/labhtml/ per ParametricPlot3D




siehe auch Geometrischer Schwerpunkt

LINKS (Anwendungen):
- Volumenintegrale http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_IV/Physikalische_Chemie/Krienke/lehre_pdf/vt/vtneu12.pdf
- Oberflächenintegrale (krumme Flächen im 3D Raum)
- Oberflächenintegrale einer skalaren Funktion
- Oberflächenintegrale 1. und 2. Art
- Integrieren mit Doppelintegralen und praktischen Beispielen
- Elektrodynamik http://de.wikiversity.org/wiki/Fachbereich_Physik/Klassische_Elektrodynamik/Maxwell-Einf%C3%BChrung
- Maxwellsche_Gleichungen http://de.wikipedia.org/wiki/Maxwellsche_Gleichungen
- http://www.uni-stuttgart.de/bio/adamek/Tech.Bio/integrieren.pdf
- Vergleich von Poisson-Gleichung in Integralform: (Poisson's Equation in Integral Form) http://gravmag.ou.edu/laplace/laplace.html
und http://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Gleichung (rechts)
zeigt unterschiedliche Schreibweisen (Symboldarstellung) vom Volumenintegral: